Modelagem de Assimetria e Curtose 2.1 Distribuição Normal Simples Utilizando Mistura de Normais 2017-08-25T19:08:46+00:00

Project Description

ARTIGO TÉCNICO

Modelagem de Assimetria e Curtose Utilizando Mistura de Normais

1.Introdução

A suposição de uma distribuição de retornos para os ativos do mercado financeiro é parte fundamental no campo da modelagem financeira. A premissa mais conveniente, até os dias de hoje, tem sido a de que os retornos dos ativos seguem um processo estacionário Gaussiano/Normal. Um exemplo da larga utilização da curva normal é o fato do VaR Paramétrico, desenvolvido por J.P. Morgan (1995) e uma das técnicas mais disseminadas na gestão e avaliação de risco de operações financeiras, basear-se na hipótese de que a distribuição de probabilidades dos retornos de cada variável de mercado segue uma normal.

Em muitas situações, a aproximação pela Normal é prática, fácil de compreender e produz resultados satisfatórios. Porém, diversos estudos como Duffie na Pan (1997), Venkataraman (1997) e Hull e White (1998) mostram que as distribuições de retornos de ativos do mercado apresentam assimetria e são substancialmente leptocúrticas (“fat tails”). Ou seja, são notavelmente distintas de uma distribuição normal.

Em diversas ocasiões é imperativo o uso de um mecanismo mais sofisticado para o aprimoramento da gestão de riscos e gerenciamento de um portfólio financeiro. Desta forma, o objetivo deste artigo é abordar de forma prática uma ferramenta flexível, tal como descrita em Wang (2001), definida por uma mistura de “n” distribuições normais, a Normal Mixture, capaz de lidar com a não normalidade dos ativos no campo da modelagem financeira.

Com o intuito de ilustrar o potencial que a técnica de combinação de normais possui quanto à acomodação de alguns dos fatos estilizados e características de séries de financeiras, é proposta uma aplicação deste método para quatro séries de retornos diários (IBOVESPA, VALE5, USDBRL, PRE-DI), contemplando o período de janeiro de 2007 até dezembro de 2016. Para o cálculo dos parâmetros que definem a distribuição Normal Mixture, é utilizada a estimativa de Máxima Verossimilhança (MV) por meio do algoritmo Expectation Maximization (EM), conforme Hastie et al (2001) e Söderlind (2010).

Em resumo, na seção 2 deste artigo serão descritas as principais propriedades da mistura de distribuições normais, seguida por uma breve discussão, na seção 3, sobre os possíveis fatos estilizados de séries financeiras que podem ser acomodados com tal ferramenta estatística. Na seção 4, será apresentada a aplicação do método para dados reais com seu respectivo teste de aderência e simulação. Uma descrição dos procedimentos realizados na seção 4 é demonstrada na seção 5 no formato “passo a passo” no software R, como uma sugestão de roteiro para aplicação da técnica e posterior simulação.

2. Mistura de Distribuições Normais (“Normal Mixture”)

2.1 Distribuição Normal Simples

A distribuição normal simples, também conhecida como Distribuição de Gauss ou Gaussiana, é uma das mais importantes distribuições da estatística. Sua história está ligada à descoberta das probabilidades em matemática, no século XVII, inicialmente para resolver questões ligadas a jogos de azar. O responsável mais direto pelo seu desenvolvimento foi Abraham de Moivre, matemático francês exilado na Inglaterra que a definiu, em 1730, dando sequência aos trabalhos de Jacob Bernoulli (teorema dos grandes números) e de seu sobrinho Nicolaus Bernoulli. Em 1809, ao demonstrar rigorosamente suas propriedades em estudos relacionados a astronomia, Gauss teve seu nome diretamente associado à distribuição.

Esta distribuição é inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio-padrão, ou seja, conhecendo-se estes é possível determinar qualquer probabilidade em uma Normal.

As principais características da distribuição normal simples são:

A média da distribuição é µ

O desvio-padrão é σ

A moda ocorre em x=µ

A curva é simétrica em relação a um eixo vertical passado por x=µ

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Normal se sua função densidade de probabilidade for dada por:

Em uma distribuição simétrica como a normal, a forma como os valores se distribuem à esquerda da média é a mesma à direita. Os desvios positivos e negativos têm a mesma preponderância, e as caudas da distribuição possuem o mesmo formato. Nesse caso, o terceiro momento centrado, a simetria, é nulo, a3=0.

A curtose (α4) está relacionada ao grau de achatamento da distribuição, frequentemente estabelecida em relação à distribuição normal. Aqui podemos medir quão “gordas” são as caudas de uma distribuição. No caso da normal temos α4=3.Dizemos que uma distribuição de frequências é:

Mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal.

Platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal.

Leptocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal.

Em geral, a simetria e curtose normalizadas de uma variável aleatória X são definidas por Casella e Berger (1990):

2. 2 Não Normalidade dos ativos

A distribuição normal simples, também conhecida como Distribuição de Gauss ou Gaussiana, é uma das mais importantes distribuições da estatística. Sua história está ligada à descoberta das probabilidades em matemática, no século XVII, inicialmente para resolver questões ligadas a jogos de azar. O responsável mais direto pelo seu desenvolvimento foi Abraham de Moivre, matemático francês exilado na Inglaterra que a definiu, em 1730, dando sequência aos trabalhos de Jacob Bernoulli (teorema dos grandes números) e de seu sobrinho Nicolaus Bernoulli. Em 1809, ao demonstrar rigorosamente suas propriedades em estudos relacionados a astronomia, Gauss teve seu nome diretamente associado à distribuição.

Esta distribuição é inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio-padrão, ou seja, conhecendo-se estes é possível determinar qualquer probabilidade em uma Normal.

As principais características da distribuição normal simples são:

A média da distribuição é µ

O desvio-padrão é σ

A moda ocorre em x=µ

A curva é simétrica em relação a um eixo vertical passado por x=µ

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Normal se sua função densidade de probabilidade for dada por:

Em uma distribuição simétrica como a normal, a forma como os valores se distribuem à esquerda da média é a mesma à direita. Os desvios positivos e negativos têm a mesma preponderância, e as caudas da distribuição possuem o mesmo formato. Nesse caso, o terceiro momento centrado, a simetria, é nulo, a3=0.

A curtose (α4) está relacionada ao grau de achatamento da distribuição, frequentemente estabelecida em relação à distribuição normal. Aqui podemos medir quão “gordas” são as caudas de uma distribuição. No caso da normal temos α4=3.Dizemos que uma distribuição de frequências é:

Mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal.

Platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal.

Leptocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal.

Em geral, a simetria e curtose normalizadas de uma variável aleatória X são definidas por Casella e Berger (1990):

Em 2008, 10 anos após a crise financeira na Russia-Ásia que levou o Long-Term Capital Management (LTCM) à falência, as críticas à utilização de modelos de avaliação de riscos baseados na distribuição de probabilidades com formato de sino aumentaram consideravelmente, uma vez que tais eventos continuaram a surpreender negativamente as instituições financeiras.

Conforme citado anteriormente, muitas vezes as distribuições de retornos de diversos ativos do mercado apresentam assimetria e são substancialmente leptocúrticas (“fat tails”). Ou seja, a forma como os valores se distribuem à esquerda da média não é a mesma à direita e outcomes extremos ocorrem com uma frequência muito maior do que seria esperado por uma modelagem baseada na distribuição normal. Vemos então que assumir normalidade, em muitos casos, está longe de ser satisfatório e apropriado.

  • Figura 1.1: Função densidade de probabilidade do índice IRF-M1 e da normal de mesma média e variância. Foram utilizados retornos mensais no período de Set/2003 até Out/2015.

Discutiremos a seguir as propriedades da mistura de normais (“Normal Mixture”) para modelar distribuições assimétricas e com medida de curtose diferente à da distribuição normal (platicúrtica e leptocúrtica).

2.3 Definição e Propriedades

Podemos descrever a função distribuição acumulada de uma mistura de n normais pela variável aleatória X da seguinte maneira (Jin Wang [2001]):

Onde φ é a função distribuição acumulada de N (0,1) e Pj é o peso atribuído a cada normal. Desta forma, sua função densidade de probabilidade é representada por:

          

Onde para j= 1,…,n, 

a.Propriedades: se X é uma mistura de k normais com a função densidade de probabilidade (2.1), sua média, variância, assimetria e curtose são:

3. Acomodação de Características/Fatos Estilizados

a. Exemplo “Fat Tail”

Considere as três distribuições abaixo com as seguintes características:

Normal 1 (0,5%, 1,5%) com probabilidade de 80%;

Normal 2 (10% , 4%) com probabilidade de 10%;

Normal 3 (-11%, 3%) com probabilidade de 10%.

μ=0,30%               σ=5,13%                     a3=0,27                     α4=6,09

A linha azul representa a distribuição normal equivalente, de mesma média e desvio-padrão. Pelos números acima gerados com a3=-0,27, conseguimos obter uma distribuição em que a forma como os valores se distribuem à esquerda da média não é a mesma à direita, ou seja, é assimétrica. Neste caso, temos assimetria negativa, em que a moda é menor que a mediana, que, por sua vez, é menor que a média.

Podemos verificar também que, com α4=6,09, a distribuição simulada possui caudas mais “gordas” do que a normal. Ou seja, outcomes extremos ocorrem com uma frequência maior do que seria esperado por uma modelagem baseada na distribuição normal, onde α4=3.

b.Exemplo Mercados Não Contínuos (JUMP)

Considere as duas distribuições abaixo com as seguintes características:

Normal 1 (0%, 1%) com probabilidade de 80%;

Normal 2 (20% , 3%) com probabilidade de 20%;

Aplicando as fórmulas do item 3.a, temos os seguintes momentos da distribuição final:

μ=4%               σ=5,88%                     a3=4,15                    α4=13,54

A linha azul representa a distribuição normal equivalente, de mesma média e desvio-padrão. Por meio da mistura destas duas distribuições normais é possível simular mercados não contínuos (jump), onde a assimetria e a curtose são características evidentes. Neste caso, a modelagem está baseada, por exemplo, em uma expectativa de descontinuidade assimétrica de padrão de cotação de determinada moeda, originada por eventual mudança de regime cambial onde uma maxidesvalorização é esperada com alguma probabilidade.

c. Exemplo Mercado Binário ou Bimodal

Considere as duas distribuições abaixo com as seguintes características:

Normal 1 (10%, 5%) com probabilidade de 50%;

Normal 2 (-10% , 5%) com probabilidade de 50%;

Aplicando as fórmulas do item 2.a, temos os seguintes momentos da distribuição final:

μ=0%               σ=11,1%                     a3=0                     α4=1,72

A linha azul representa a distribuição normal equivalente, de mesma média e desvio-padrão.

A distribuição final acima representa a resultante de dois cenários completamente opostos com probabilidades equivalentes. Tal formato pode ser representado, por exemplo, pela expectativa do mercado em relação a uma notícia em que os impactos serão absorvidos de forma extremamente antagônica. Nesse sentido, adicionando esse parâmetro de incerteza em sua distribuição, se torna possível simular o impacto financeiro em sua carteira baseado neste cenário “binário” esperado.

4. Aplicação com Dados Reais

Com o intuito de ilustrar o potencial que a técnica de combinação de normais possui quanto à acomodação de alguns dos fatos estilizados e características de séries financeiras, nesta seção é proposta uma aplicação deste método para as séries de retornos diários de quatro ativos (IBOVESPA, VALE5, USDBRL, PRE-DI) referente ao período de janeiro de 2007 a dezembro de 2016. Para o cálculo dos parâmetros que definem a distribuição Normal Mixture é utilizada a estimativa de Máxima Verossimilhança (MV) por meio do algoritmo EM, conforme Hastie et al (2001) e Söderlind (2010).

4.1 Estimação

O algoritmo EM é uma ferramenta muito utilizada para simplificar a estimação por Máxima Verossimilhança quando a complexidade do cálculo é elevada. De acordo com a literatura, esta ferramenta possui excelente desempenho diante de problemas que envolvem variáveis não observadas, que é o caso do presente estudo, pois a probabilidade de cada observação pertencer a determinada distribuição não é observada. Na última década, avanços significativos foram introduzidos com relação à estimação de modelos de mistura de distribuições, especialmente por meio do método de Máxima Verossimilhança pelo algoritmo, conforme argumentado em Picard (2007). Para o caso da mistura de duas distribuições normais (k = 2):

Onde é a função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal com média mi  e desvio-padrão si ; e a função do log da verossimilhança é dada por:

Como a maximização direta desta função do log da verossimilhança é um procedimento complexo, o algoritmo EM apresenta-se, dentro deste contexto,  como uma eficiente alternativa para simplificar a resolução do problema por meio de otimização numérica. Em resumo, este método pode ser dividido em duas etapas: na primeira, (E step) o algoritmo EM determina tanto o valor esperado como as estimativas iniciais dos parâmetros. Na segunda etapa (M step), é maximizado o valor esperado. Por meio da repetição das etapas 1 e 2, o método converge para um máximo local da função de verossimilhança. O pacote “nor1mix” no software R possui a função norMixEM que realiza a estimativa de Máxima Verossimilhança (MV) por meio do algoritmo EM. Portanto, o procedimento é de fácil aplicação e os resultados serão apresentados na próxima subseção.

  • Tabela 1: Parâmetros Estimados (%) pelo algoritmo EM para n=2

                  p1

                  m1

                  s1

                  p2

                  m2

                  s2

IBOV

11.27

-0.14

3.76

88.73

0.03

1.38

VALE5

30.45

0.01

4.11

69.55

-0.05

1.67

USDBRL

77.24

-0.01

0.72

22.76

0.10

1.89

PREDI

87.79

0.00

0.13

12.20

-0.03

0.47

  • Gráfico 1: Normal Mixture n=2 e seus componentes

  • Tabela 1: Parâmetros Estimados (%) pelo algoritmo EM para n=2

                  p1

                  m1

                  s1

                  p2

                  m2

                  s2

IBOV

11.27

-0.14

3.76

88.73

0.03

1.38

VALE5

30.45

0.01

4.11

69.55

-0.05

1.67

USDBRL

77.24

-0.01

0.72

22.76

0.10

1.89

PREDI

87.79

0.00

0.13

12.20

-0.03

0.47

  • Gráfico 1: Normal Mixture n=2 e seus componentes

  • Tabela 2: Parâmetros Estimados (%) pelo algoritmo EM para n=3

p1

m1

s1

p2

m2

s2

p3

m3

s3

IBOV

4.55

-0.02

4.83

37.97

0.13

0.95

57.48

-0.06

1.80

VALE5

61.79

-0.15

2.10

18.02

0.35

0.91

20.19

0.13

4.56

USDBRL

71.07

0.01

0.94

18.18

-0.03

0.32

10.75

0.15

2.30

PREDI

1.95

-0.01

0.85

67.55

0.01

0.12

30.50

-0.02

0.26

  • Grafico 2: Normal Mixture n=3 e seus componentes

4.3 Teste de Aderência

Uma medida comumente usada para verificar a qualidade de ajuste do modelo (goodness-of-fit) é a estatística Qui-Quadrado, que possui a seguinte regra de decisão:

Com o intuito de verificar o ganho real da utilização da distribuição de mistura de normais versus a utilização de uma distribuição normal simples, foi construído um quadro comparativo com as estatísticas Qui-Quadrado (CS) para cada ativo e para cada distribuição utilizada.

  • Tabela 3: Teste de Aderência

Normal n=1

Normal Mixture n=2

Normal Mixture n=3

CS

p-value

CS

p-value

CS

p-value

IBOV

87987

0.0005*

144.69

0.0025*

51.983

0.4303

VALE5

609390

0.0004*

128.82

0.0054*

72.285

0.1539

USDBRL

54105

0.0004*

257.96

0.0010*

97.113

0.0530

PREDI

1813120

0.0000*

45736

0.0004*

65.253

0.0630

*rejeita H0 ao nível de significância de 1%

Os resultados indicam que, para todos os ativos, a modelagem dos dados feita com a mistura de distribuições normais possui um ajuste de maior qualidade do que aquela que utiliza uma única distribuição normal. Com 95% de nível de confiança, a hipótese nula é rejeitada para todos os ativos quando a distribuição normal simples é empregada. No caso do ajuste via Normal Mixture, utilizando dois componentes (n=2), já se observa uma significativa melhora. Porém, vale frisar que o melhor ajuste é encontrado quando empregamos Normal Mixture utilizando três componentes (n=3), pois em todos os casos a hipótese nula não é rejeitada ao nível de significância de 1%, e também é obtido o menor valor da estatística Qui-quadrado (CS). De uma forma geral, os gráficos abaixo ilustram de forma direta a qualidade dos ajustes.

  • Gráfico 3: Normal Mixture e Normal Simples

Outra forma de demonstrar o ganho qualitativo da utilização da mistura de normais sobre a normal simples pode ser observada na Tabela 4 abaixo, que apresenta os valores de assimetria e curtose para cada ativo. Desta forma, conseguimos verificar a melhora na capacidade de capturar, com maior acuracidade, as características da distribuição.

  • Tabela 4: Assimetria e Curtose

Empírica

Normal Simples

Normal Mixture n=3

Assimetria

Curtose

Assimetria

Curtose

Assimetria

Curtose

IBOV

0.01

8.63

0.00

3.00

-0.04

8.71

VALE5

-0.06

6.04

0.00

3.00

-0.10

5.94

USDBRL

0.21

7.75

0.00

3.00

0.19

7.26

PREDI

-1.09

18.11

0.00

3.00

-0.14

17.68

4.4 Simulação de Mistura de Normais

Uma vez que o Teste de Aderência confirma a adequabilidade da utilização da mistura de normais para as séries de retornos, pode ser de interesse do participante de mercado realizar simulações de amostras aleatórias originadas a partir das distribuições definidas na Tabela 2. Para ilustração, podemos considerar os valores obtidos da Normal Mixture de VALE5.

Normal Mixture n=2 – VALE5

Normal 1 (-0.05% , 1.67%) com probabilidade 69.55%;

Normal 2 (0.01% , 4.11%) com probabilidade 30.45%;

Gerar uma variável aleatória U com distribuição Uniforme (0, 1).

Se U < 0.6955, gerar a variável aleatória X com distribuição Normal (-0.35% , 7.30%).

Se U ≥ 0.3045, gerar a variável aleatória X com distribuição Normal (1.26% , 16.60%).

Normal Mixture n=3 – VALE5

Normal 1 (-0.15% , 2.10%) com probabilidade 61.79%;

Normal 2 (0.35% , 0.91%) com probabilidade 18.02%;

Normal 3 (0.13% , 4.56%) com probabilidade 20.19%;

Gerar uma variável aleatória U com distribuição Uniforme (0, 1).

Se U < 0.3309, gerar a variável aleatória X com distribuição Normal (0.84%, 16.40%).

Se 0.3309 ≤ U < 0.4881, gerar a variável aleatória X com distribuição Normal (-3.38%, 4.93%).

Se U ≥ 0.4881, gerar a variável aleatória X com distribuição Normal (8.38%, 3.46%).

  • Grafico 3: Simulação de Múltiplas Trajetórias de Preço  – VALE5

Assim como foi utilizada a função norMixEM do pacote “nor1mix” do software R no processo de estimação dos parâmetros na subseção 4.1, podemos utilizar outra função, denominada rnorMix, deste mesmo pacote que é disponibilizada com o objetivo de realizar simulações de amostras extraídas de mistura de normais. Este cálculo será detalhado na Etapa 5 da descrição “passo a passo” da próxima seção.

5. Passo a Passo

Nesta seção serão descritos os procedimentos necessários no software R, no formato de passo a passo, para a modelagem de dados financeiros utilizando a distribuição Normal Mixture com três componentes (“n”=3), o respectivo teste de adequabilidade e o procedimento de simulação. Com o intuito de facilitar o entendimento, os passos abaixo serão baseados nos procedimentos realizados para VALE5. O programa completo para todos os ativos e número de componentes é fornecido no apêndice.

Etapa 1) Instalação dos Pacotes e Importação dos Dados: é necessário instalar inicialmente os pacotes (packages) e os respectivos diretórios (libraries) disponíveis para o software R que possuem as funções a serem utilizadas na Etapa 2, Etapa 3 e Etapa 4. O pacote “nor1mix” possui a função norMixEM que realiza a estimativa de Máxima Verossimilhança (MV) por meio  do algoritmo EM, o pacote “moments” possui as funções skewness e kurtosis, e o pacote “xlsx” apresenta a função read.xlsx, que é empregada para importar os dados de um arquivo Excel.

> install.packages(“nor1mix”, lib=”/data/Rpackages/”)

> install.packages(“moments”, lib=”/data/Rpackages/”)

> install.packages(“xlsx”, lib=”/data/Rpackages/”)

> install.packages(“zoo”, lib=”/data/Rpackages/”)

> library(nor1mix);library(moments);library(xlsx);library(zoo)

> setwd(“E:/Artigo_02/Bases”)

> data <- read.xlsx(“valed1.xlsx”, sheetIndex = 1)

Etapa 2) Estimação: após importar os dados no formato original (que consiste na série diária de preço de fechamento) é criada a série retpct de retornos por meio do cálculo da diferença do logaritmo multiplicado por 100. O método da Máxima Verossimilhança (MV) por meio do algoritmo Expectation Maximization (EM) é aplicado na estimação dos parâmetros da mistura de distribuições normais por meio da função norMixEM. Por último, a função norMix armazena os parâmetros encontrados para uso na simulação  (Etapa 5).

> attach(data)

> retpct=diff(log(close))*100

> parmixn3 <- norMix(mu=c(EMn3[1],EMn3[2],EMn3[3]),sigma=c(EMn3[4],EMn3[5],EMn3[6]),

+ w=c(EMn3[7],EMn3[8],EMn3[9]))

Etapa 3) Estatísticas e Gráficos: nesta etapa são geradas estatísticas como média, desvio-padrão, assimetria e curtose assim como um histograma dos retornos. Essas informações serão usadas na Etapa 4, no teste de aderência.

> mean=mean(retpct); sd=sd(retpct); skewness=skewness(retpct); kurtosis=kurtosis(retpct)

> hist <- hist(retpct, prob=TRUE,breaks=50,xlab=”Retorno”,ylab=”Densidade”,main=NULL,          xlim=c(-15,15),ylim=c(0,0.22))

+ plot(parmixn3,p.comp=TRUE,xlim=c(-15,15),xlab=”Retorno”,ylab=”Densidade”,main=NULL)

Etapa 4) Teste de Aderência: a função chisq.test exige tanto a especificação da densidade empírica dos dados (hist$counts), a qual foi obtida pelo comando hist na Etapa 3, assim como a distribuição de referência especificada na hipótese nula, que para o caso da mistura de normais é fornecida pela função pnorMix disponibilizada também no pacote “nor1mix”.

> breaks_cdf_nor <- pnorm(hist$breaks,mean=mean(retpct),sd=sd(retpct))

> null.probs.nor <- rollapply(breaks_cdf_nor, 2, function(x) x[2]-x[1])

> chisq.nor <- chisq.test(hist$counts, p=null.probs.nor, rescale.p=TRUE, simulate.p.value=TRUE)

> breaks_cdf_mix <- pnorMix(hist$breaks,parmixn3)

> null.probs.mix <- rollapply(breaks_cdf_mix, 2, function(x) x[2]-x[1])

> chisq.mix.n3 <- chisq.test(hist$counts, p=null.probs.mix, rescale.p=TRUE, simulate.p.value=TRUE)

Etapa 5) Simulação: a função denominada rnorMix, do pacote “nor1mix”, é uma ferramenta disponibilizada com o objetivo de realizar simulações de amostras extraídas de mistura de distribuições normais. A função apenas exige como argumentos o tamanho da amostra a ser gerada e o vetor contendo os valores dos parâmetros que, no caso deste artigo, foi criado após a estimação na Etapa 1.

> x3 <- rnorMix(500,parmixn3)

6. Conclusão

O presente artigo buscou apresentar de forma prática e didática uma ferramenta estatística proposta por Jin Wang (2001), definida como uma mistura de “n” distribuições normais, a Normal Mixture, no campo da modelagem de séries financeiras. Mostramos que, apesar de sua praticidade e ampla utilização pelos participantes de mercado, o uso da curva normal simples como forma de replicar o comportamento dos ativos do mercado financeiro está longe de ser adequado.

Ao aplicarmos a técnica, utilizando as séries de retornos diários de quatro importantes ativos do mercado brasileiro (IBOVESPA, VALE5, USDBRL, PRE-DI) na janela de 2007 até 2016, foi possível demonstrar, por meio da estatística Qui-Quadrado, o real ganho em termos de aderência (“fitting”) para modelar distribuições bimodais, assimétricas e com caudas gordas (“fat tails”) tão comumente encontradas em séries financeiras.

Após realizar a modelagem das curvas, pode ser de interesse do participante aplicar a técnica para diferentes finalidades no campo de finanças, tais como:

a) Gestão de Riscos: efetuar simulações para verificar de forma adequada os possíveis impactos no portfólio ao modelar os eventos de cauda esperados;

b) Resampling: efetuar a reamostragem dos dados pelo uso de subconjuntos de dados disponíveis;

c) Apreçamento de opções com distribuição de probabilidades exóticas;

d) Representar a mistura de diferentes cenários macroeconômicos prospectivos de membros de um comitê;

e) Otimização de portfólios: ao modelar todos os momentos da distribuição, tal técnica apresenta grande benefício ao incorporar efeitos de assimetria e curtose perante o modelo clássico de média-variância (Markowitz).

Com isso, apresentamos a grande importância da técnica para diferentes áreas no campo de finanças assim como um guia passo a passo de sua aplicabilidade.

Referências

  • Casella, G., and Berger, R. L., 2002. Statistical inference. Duxbury Press.

  • Dempster, A.P., N.M. Laird and D.B. Rubin, 1977. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J. the Royal Statistical Society Series B, 39: 1-38.

  • Due, D., and J. Pan, 1997. “An overview of value at risk” Journal of Derivatives, 4(3), 7-49

  • J.P. Morgan, 1995. RiskMetricsTM. Technical Documentation, Release 1-3, J. P. Morgan, New York, NY.

  • Hastie, T., R. Tibshirani and J. Friedman, 2001. The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference and Prediction. Springer Verlag.

  • Hull, J., and A. White, 1998. Value-at-risk when daily changes in market variables are not normally distributed,” Journal of Derivatives, 5(3), 9-19.

  • Picard, F., 2007. An introduction to mixture models, Statistics for Systems Biology Group, Research Report No 7.

  • Söderlind, P., 2010. Lecture Notes in Empirical Finance (PhD): Return Distributions. University of St. Gallen.

  • Venkataraman, S., 1997. Value at risk for a mixture of normal distributions: the use of quasi Bayesian estimation techniques,” Economic Perspective, Federal Reserve Bank of Chicago, March/April, 2-13.

  • Wang J., 2001. Generating daily changes in market variables using a multivariate mixture of normal distributions. In Proceedings of the 2001 Winter Simulation Conference, Peters BA, Smith JS, Medeiros DJ, Rohrer MW (eds). Arlington, VA; 283–289.

Autores

RAFAEL MINGHINI
RAFAEL MINGHINI
Formado em Administração pelo Insper com Especialização em Matemática Aplicada e Estatística pelo IME-USP.
Responsável pela Gestão de Riscos na BW Gestão de Investimentos, onde atua desde 2011.
PAULO BELTRÃO FRALETTI
PAULO BELTRÃO FRALETTI
Doutor em Administração pela FEA/ USP. Master in Business Sciences (MSc) pela London Business Scho­ol. Professor da FGV/EAESP, do Insper e da B3 Educação
PEDRO NIELSEN ROTTA
PEDRO NIELSEN ROTTA
Formado em Economia pelo Insper com Mestrado Profissional em Economia e Financas pela FGV-SP, Mestrado em Economia (Econo­metria) pela The State University of New York e atualmente cursan­do Mestrado em Estatística pela University of South Carolina (USC) onde também atua como profes­sor assistente.